【循環小数】1/3×3=1なのに0.33333…×3=0.99999…の謎 ★4

1:2019/11/06(水) 00:16:14.23ID:HjCtOr/c9 ■摩訶不思議!「循環小数」の世界

「循環小数」というのをご存じだろうか。分数は、計算したときに小数点以下のケタが循環する小数と、循環しない小数のどちらかになる。そして、前者が循環小数と呼ばれる。たとえば「1/6=1÷6=0.166666……」「1/9=1÷9=0.111111……」「1/11=1÷11=0.090909……」などが循環小数である。

私は全国各地で講演を行っている。そして、小学校・中学校・高等学校の講演後の質疑応答で、「『1/3=0.33333……』。この両辺を3倍すると『1=0.99999…』となりますが、これはどういうことなのでしょうか」という質問をよく受ける。

まず「0.99999……」について考えてみると、「0.9+0.09+0.009+0.0009……」と表せる。そして「0.9」「0.09」「0.009」「0.0009」は、初めの「0.9」に「1/10」をかけ続けてできる。これを「初項0.9」「公比1/10」の「等比数列」と呼び、等比数列を無限に足したものを「無限等比級数」と呼ぶ。

たとえば、「1+2+4+8+……」は「初項1」「公比2」の無限等比級数だが、その値は無限に発散する。それに対して「初項1/2」「公比1/2」の無限等比級数「1/2+1/4+1/8+1/16……」は「1」に限りなく近づく。これを「収束」と呼ぶ。そして公比が「−1」と「1」の間にあるとき、無限等比級数は収束することが証明されていて、その値は「(1−公比)分の初項」となる。

したがって、問題の無限等比級数は公比が「1/10」なので収束し、その値「(1−1/10)分の0.9」、すなわち「0.9/0.9=1」となる。そもそも「0.33333……」自体、「初項0.3」「公比1/10」の無限等比級数で、同様に計算すると「1/3」に収束することがわかる。

■石には粉

もう1つ、せっかくなのでおもしろい循環小数をご紹介しよう。「1/7=1÷7=0.142857142857……」は、「142857」が繰り返される。この「142857」は不思議な数で、私は「142857=いしにはこな(石には粉)」と覚えている。

この数に「1、2、3…」とかけてみる。「142857×1=142857」「142857×2=285714」「142857×3=428571」「142857×4=571428」「142857×5=714285」「142857×6=857142」。何かに気づかないだろうか。

答えの6ケタの数が、元の数「142857」の順に「1→4→2→8→5→7」とグルグルと回って並んでいる。「142857」のように、その各桁の数を順序を崩さずに巡回させた数になる整数は「巡回数」「ダイヤル数」と呼ばれる。ちなみに「142857」に「7」をかけると、「142857×7=999999」と突然変化する。本当に不思議な数である。

循環小数の風景は実に興味深い。友人たちとの酒席で話のネタにこまったときには、先の「石には粉」の呪文を思い出して、不思議なダイヤル数があることを紹介してみてはいかがだろう。

2019年11月4日 11時15分
プレジデントオンライン
https://news.livedoor.com/article/detail/17330834/
https://image.news.livedoor.com/newsimage/stf/9/7/97c79_1238_027f541be3dd788461d515a9d54f386b.jpg

★1が立った時間 2019/11/05(火) 12:00:30.11
前スレ
https://asahi.5ch.net/test/read.cgi/newsplus/1572945761/

2 2019/11/06(水) 21:35:59.99ID:LarJo65d0

最初から

263:2019/11/06(水) 04:51:09.68ID:NfrNUnQJ0

>>83
これは凄い
目からウロコだった

497:2019/11/06(水) 08:27:08.24ID:oJLf8Muj0

こんなもんパソコンと似たようなもんよ
1として扱う数字は実は内部的には1じゃないだけ
けどちゃんと1として扱う

425:2019/11/06(水) 07:35:24.54ID:gqdK4f/50

まぁ1とほぼ1

662:2019/11/06(水) 12:00:16.96ID:QJUJMs/x0

>>656
9がずっと続くって話を
紙に1文字ずつ9を書いてるイメージしか持てない人が勘違いするんでしょうね

593:2019/11/06(水) 10:31:36.91ID:LkLyfBCT0

>>582
これわからん奴って
日本の教育水準では少ないやろ

137:2019/11/06(水) 02:36:27.17ID:SqymFIpW0

無限についての感覚が人によって違うみたい
たぶん進研模試で数学の偏差値60未満くらいの人は有限でしか感覚的にイメージ出来てない

728:2019/11/06(水) 12:38:35.96ID:TSaHqHt+0

>>1
マジ?

825:2019/11/06(水) 13:05:10.73ID:UuPyTNcI0

>>818
1という限界を知ったな
おめでとう

197:2019/11/06(水) 03:52:03.48ID:7OiYZj9u0

>>192
現実世界に無限は存在しないという古い哲学の話になってくるな

234:2019/11/06(水) 04:25:57.50ID:2BuwuIV50

>>232
=じゃないから
0.333…≒1/3だよ

758:2019/11/06(水) 12:45:46.75ID:qXRqzx6d0

そういうことなんだけどね……

57:2019/11/06(水) 01:19:44.73ID:ImEDZGzP0

>>7
高校で習うやろ

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